SUM OF N TERMS IN AP

                                             സമാന്തരശ്രേണി

സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തുടര്‍ച്ചയായപദങ്ങളുടെതുക പ്രധാനമായും 'n 'ന് ഊന്നല്‍ കൊടുത്താണല്ലൊ കാണുന്നത്. ​എന്നാല്‍ 'n' നേരിട്ട് കണ്ടുപിടിക്കാതെ തുക കാണാനുള്ള ഒരു മാര്‍ഗ്ഗം വിശദീകരിക്കുന്നു. സൗകര്യപ്പെടുമെന്ന് തോന്നുന്നവര്‍ക്ക് ഉപയോഗിക്കാം.

സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തുടറ്‌ച്ചയായ പദങ്ങളുടെതുക "അവസാനപദത്തിന്റെയും ആദ്യപദത്തിന്റെയും വര്‍ഗ്ഗ വ്യത്യാസത്തെ പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെ ഇരട്ടി കൊണ്ട് ഹരിച്ച് രണ്ട് പദങ്ങളുടേയും ശരാശരി കൂട്ടിയാല്‍ മതി.”

Sn =[{Xn)^2-(X1)^2}/2d+{(Xn+X1)/2

eg: 1) 1 മുതല്‍ 21 വരേയുള്ള ഒറ്റ സഖ്യകളുടെ തുക കാണുക ?

തുക = [(21^2-1^2)/2*2]+(1+21)/2= 121

2) 10 മുതല്‍ 48 വരെയുള്ള ഇരട്ട സഖ്യകളുടെ തുക കാണുക?

തുക = [(48^2-10^2)/2*2]+(10+48)/2=580

3)13,20,27,-------------97. തുക കാണുക?

തുക = [(97^2-13^2)/2*7]+(13+97)/2 =715

4)21 മുതല്‍ 31 വരെയുള്ള ഒറ്റ സഖ്യകളുചടെ തുക കാണുക?

തുക = [(31^2- 21^2)/2*2+(31+21)/2=156.

ക്ളാസ് റൂമില്‍ ഈ രീതി പ്രയോഗിച്ചാല്‍ ഗുണം ചെയ്യുമോ ?

വഴിയോരക്കാഴ്ച

                                         

                                                   വഴിയോരക്കാഴ്ച

          കഥ
അല്ല കാര്യം തന്നെയാണ്.
ഏതാണ്ട് ഇരുപത് വര്‍ഷം മുമ്പ് ബാംഗ്ളൂര്‍ കെ.ആര്‍ മാര്‍ക്കറ്റിന്നടുത്ത് ഒരു ദിവസം വാടക റൂമില്‍ തങ്ങാന്‍ നിര്‍ബന്ധിതനായി.വൈകീട്ട് ചായ കഴിക്കാന്‍ വേണ്ടി ആളൊഴിഞ്ഞ ഭാഗത്തുള്ള ഒരു പെട്ടി കടക്ക് അരികില്‍ ഞാനും സുഹ്രത്തും കൂടി എത്തി. 'ബൈടൂ ടി ക്ക് ' ഓര്‍ഡര്‍  കൊടുത്തു.
 പെട്ടികടക്കാരനെ കൂടാതെ ഒരാള്‍ കൂടി അവിടെ നില്‍പ്പുണ്ടു്. വികലാംഗനായ അയാള്‍ക്ക് കൂട്ടിന്  ക്രച്ചസ് മാത്രം.
          രണ്ടുപേരും മലയാളികളാണെന്ന് ഞങ്ങള്‍ക്ക് എളുപ്പം തിരിച്ചറിയാന്‍ കഴിഞ്ഞു. അവരുടെ സംസാരം കന്നടയില്‍ തന്നെയായിരുന്നു.
പെട്ടന്നായിരുന്നു അത് സംഭവിച്ചത്.
    ചെറിയ ചക്രമുള്ളവണ്ടിയില്‍ ഒരാള്‍ അവിടേക്ക്  ഇഴഞ്ഞു വരുന്നു.  കടയുടെ മുന്നിലെത്തിയതും ക്രച്ചസ്സില്‍ നില്‍ക്കുന്ന  ആള്‍ എന്തോ നൊടിഞ്ഞശേഷം  തന്റെ ക്രച്ചസ്സ് ഉപയോഗിച്ച് വന്ന  ആളെ തുരുതുരെ തല്ലിയതും. വണ്ടിയില്‍ ചമ്രംപടിഞ്ഞ് ഇരിക്കുന്ന ആള്‍ക്ക്  അടികൊള്ളാനല്ലാതെ ഒന്നും ചെയ്യാന്‍ പറ്റുന്നില്ല.
കുറെ നേരം തല്ല്കൊണ്ട് ഒന്നും ഉരിയാടാതെ കരഞ്ഞുകൊണ്ട് വണ്ടിയില്‍ ഇഴഞ്ഞുപോയി. പുറകെ വിജയിയായി ക്രച്ചസ്സില്‍ മറ്റെ ആളും. നമ്മുടെ നാട്ടില്‍ ആയിരുന്നെങ്കില്‍  അരുത് എന്ന് പറയാമായിരുന്നു. അവിടെ നിസ്സഹായനായി നോക്കിനില്‍ക്കാനല്ലാതെ ഞങ്ങള്‍ക്കെന്ത്  ചെയ്യാന്‍ കഴിയും?.........
    ഞങ്ങള്‍ക്കെന്ത് കാര്യം?  .പരിചയക്കാരൊക്കെ നോക്കി നില്‍ക്കുകയാണല്ലോ?
 എന്നിട്ടും കടക്കാരനോട് ഞങ്ങള്‍ പറഞ്ഞു " നിങ്ങള്‍ക്ക് വല്ലതും ചെയ്യാമായിരുന്നു. ”
“ശരിയാണ് നിങ്ങള്‍ പറഞ്ഞത്  -പക്ഷെ ഒരു കാര്യം, ഇതിന് പകരം ഞാന്‍ നാളെയും കാണേണ്ടി വരും .നിങ്ങള്‍ വൈകീട്ടുള്ള ബസ്സ് കയറും .”--- കടക്കാരന്‍ നൊടിഞ്ഞു.
“നാളെ പകരമോ? കാലു്പോലുമില്ലാത്ത മനുഷ‍്യജീവി പകരം തല്ലാനോ?”
“സാറന്മാരെ നിങ്ങള്‍ക്ക് തെറ്റു പറ്റി.അവര്‍ രണ്ടു പേരും പൂര്‍ണ്ണആരോഗ്യവാന്മാരാണ്. വണ്ടിയില്‍യാത്രചെയ്ത ആള്‍ക്ക് ആദിവസം കൂടുതല്‍കലക്ഷന്‍ കിട്ടിക്കാണുമെന്നും ചായക്കാശ് ചോദിച്ചിട്ട്  കൊടുക്കാഞ്ഞിട്ടാണ് അയാള്‍ മറ്റെ ആളെ തല്ലിയതും” ഒരു വീര്‍പ്പില്‍ കടക്കാരന്‍ പറഞ്ഞു തീര്‍ത്തു.
 ഞങ്ങള്‍ മുഖാമുഖം നോക്കി.
 “വേദന കൂടിവരുമ്പോള്‍ അയാള്‍ എഴുന്നേറ്റ് നിന്ന് തിരിച്ചു തല്ലിയാലുള്ള അവസ്ഥ ആലോചിച്ചുനോക്കൂ!  കാണികളായ നാം അയാളെ കൈകാര്യം ചെയ്യില്ലെ ? ഒരു ഇഴജീവിയായ അയാള്‍ പെട്ടെന്ന് ആരോഗ്യവാനാകുന്ന അവസ്ഥ!”
 തല്കാലം അയാള്‍ക്ക് അടികൊള്ളല്‍ മാത്രമാണ് രക്ഷ.
“നിങ്ങള്‍ക്ക് സമയമുണ്ടെങ്കില്‍ നാളെ ഇതേ സമയം ഇവിടെ വന്നോളൂ. ഇന്നത്തെ ക്രച്ചസ്സ് ധാരി നാളെ വണ്ടിയിലും  വണ്ടിയിലെ ഇഴജീവി  ക്രച്ചസ്സിലും കാണും.ചിലപ്പോള്‍ പകരം അടിയും കാണാം”.
 
    ചായക്കാശും കൊടുത്ത് ഞങ്ങള്‍ റൂമിലേക്ക് നടന്നു. നാളത്തെ അടിയും ആലോചിച്ച്................

ശിക്ഷ

                                                   ശിക്ഷ
അങ്ങ്കിഴക്ക്കിഴക്ക്ഒരുരാജാവ്.ചതുരാകൃതിയായഒരുവലിയപ്രദേശത്തിന്റെഅധിപതി.എന്തിനും പോരുന്നനാലുആണ്‍മക്കളും. അവര്‍ ഒന്നിനൊന്നു മെച്ചം. .പ്രജകളുടെ കാര്യത്തില്‍ സദാശ്രദ്ധാലുവായരാജാവിന്നുമക്കളെ ശ്രദ്ധിക്കാന്‍  അവസരം കിട്ടിയില്ല.പിതാവിന്റെ പ്രവര്‍ത്തനം നാടിനും നാട്ടാര്‍ക്കും വേണ്ടിയാണു എന്നത് ചിന്തിക്കാന്‍ മാത്രം മക്കള്‍  ഉയര്‍ന്നില്ല.അങ്ങിനെ മക്കള്‍ കുബുദ്ദികളായതില്‍ അത്ഭുതമില്ലല്ലോ .പരസ്പരം കുറ്റം ചാര്‍ത്താനും രാജാവിന്റെ മുതലുകള്‍  തട്ടിയെടുക്കാനും അവര്‍ വാശി തുടര്‍ന്നു.പ്രത്യാക്രമാണത്തിനു സ്വകാര്യമായി ഗുണ്ടകളെ പോലും സംഘടിപ്പിച്ച് സജ്ജരായി .ഈ നില തുടര്‍ന്നാല്‍ രാജ്യത്തിന്റെ നില തന്നെ അവതാളത്തിലാവും എന്ന അവസ്ഥ വന്നു.
   പാവം രാജാവിന്റെ ചെവിയില്‍ഈ വാര്‍ത്ത വളരെ വൈകിയാണ് കിട്ടിയത്.എങ്കിലും രക്ഷപ്പെടണമല്ലോ?ഉപദേഷ്ടാക്കള്‍എല്ലാവരും രാജസന്നിധിയില്‍ .മാരത്തോണ്‍ ചര്‍ച്ച തുടങ്ങി ."നാലു പേരെയും ഒന്നിച്ചു നടുകടത്തിയാല്‍അവര്‍സംഘടിച്ചു രാജാവിന് എതിരെ തിരിയും"---ഒന്നാമന്‍ .
"അവര്‍ നിങ്ങളുടെ അധീനതയില്‍കഴിയണം."........രണ്ടാമന്‍ .
"രാജാവിന് അവര് സംരക്ഷകനാകണം" --------------മൂന്നാം ഉപദേശി.
"രാജ്യത്തിന്നു ചുറ്റിലും അവര്‍  പരസ്പരം ബന്ധമില്ലാതെ ജിവിതാവസാനം വരെ കഴിയണം." പ്രായം ചെന്നയാള്‍ തന്റെ അഭിപ്രായം രേഖപ്പെടുത്തി" . നാലു പേര്‍ക്കും ഒരേ ഭൂമി കൊടുക്കണം ,എന്നാല്‍തമ്മില്‍ കാണരുത് "..........
ഒടുവില്‍ പരക്കെ സമ്മതമായതീരുമാനംവന്നു. സമചതുരാക്രിതിയായ സ്ഥലത്തിന്നുചുറ്റിലുംഒരേവിസ്തീര്‍ണമുള്ളവ്യത്യസ്തഅളവുകളോട്കൂടിയ ത്രികോണആക്രിതിയായസ്ഥലംകൊടുത്തിട്ട്അവരെതടവില്‍പാര്‍പ്പിക്കണം.
വ്യവസ്ഥകള്‍1) വശവും വിസ്തീര്ണവുംപൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകള്‍ആകണം.. 2)തുല്യ വിസ്തീര്‍ണ്ണംആണെങ്കിലുംവശത്തിന്റെ അളവുകള്‍തുല്ല്യമാകാന്‍പാടില്ല.. 3)നാല് മൂലയിലുംനാലുപേര്‍ വസിക്കണം. 4)സ്ഥലങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ തൊടാന്‍ പാടില്ല.      സമച്ചതുരാക്രുതിയായ സ്ഥലത്തിന്ചുറ്റിലുംഈപ്രത്യേകതയുള്ള ത്രികോണാകൃതിയായ സ്ഥലം അളന്നുതിട്ടപ്പെടുത്താന്‍ആരാജ്യത്തെ"അളവുകാരനെ" സഹായിക്കാമോ?

ചെരുപ്പ്

                                                                                                                                     ചെരുപ്പ്

 അന്നൊരു തിങ്കളാഴ്ച.ഞാനും ഭാര്യയും സ്കൂളിലേക്ക് പോവാനുള്ള ധ്റ്തിയില്‍ . എട്ടെര മണിയാവുമ്പോഴേക്കം അടുക്കള clean ചെയ്ത് close ചെയ്യണം.ഇല്ലെങ്കില്‍വൈകുന്നേരം ആകുമ്പോള്‍ ഉറുമ്പുകളുടെ ഘോഷയാത്രയില്‍
ഞങ്ങളും പങ്കെടുക്കേണ്ടിവരും.ജോലിയുടെ തിരക്ക് കൂടിവരുന്നതിനിടയില്‍ പതിവിന് വിപരീതമായി പൂര്‍ണ്ണസന്തോഷവാനായി ഒന്നാം ക്ളാസില്‍ പഠിക്കുന്ന മകന്‍ അപ്പു എഴുന്നേറ്റു വരുന്നു.
ഞാന്‍ കാര്യം തിരക്കി . തിങ്കളാഴ്ച യായിട്ടും എന്തേ ഇത്ര സന്തോഷം? സ്കൂളില്‍ മധുരം വിതരണം ചെയ്യുന്നുണ്ടോ?
 "ഏയ്  അതൊന്നുമല്ല" - ഉമ്മറത്തേക്ക്  ഒറ്റ ഓട്ടം . ഞങ്ങള്‍ക്ക് കാര്യം  പിടികിട്ടി. തലേന്ന് വാങ്ങിയ   ചെരുപ്പ്  കുട്ടികളെ കാണിക്കാനായിരിക്കും.ഉമ്മറത്തേക്ക് പോയ അതേ സ്പീഡില്‍ കക്ഷി കരഞ്ഞു കൊണ്ട് തിരികെ വരുന്നു.
" ഒന്ന് കാണുന്നില്ല"
"നിന്നോട് ഞാന്‍ഇന്നലെ  രാത്രിയേ പറഞ്ഞതല്ലേ , ചെരുപ്പ്അകത്ത് വെക്കാന്‍ ഇല്ലേല്‍ നായ കൊണ്ടു പോകും എന്ന് "------- അമ്മ തന്റെ രൗദ്രദാവം പുറത്തേക്കെടുത്തു.
  ചെരുപ്പും തിരഞ്ഞ് മകന്‍ വീണ്ടും പുറത്തേക്ക് പോയപ്പോഴും അകത്തുള്ള ഭര്യയുടെ കോമരം കെട്ടടങ്ങിയിരുന്നില്ല.
"വാങ്ങിയപ്പോഴേ ഞാന്‍ പറഞ്ഞതാണ് സൂക്ഷിക്കണം എന്ന്.കഴിഞ്ഞ തവണ ചെരുപ്പ് വാങ്ങിയിട്ട് ഒരുമാസമായിട്ടില്ല, കളിക്കുമ്പോഴുംചെരുപ്പ് നിര്‍ബന്ധമല്ലേ?....................."
വെപ്രാളത്തില്‍ ,സ്കൂളിലേക്ക് എടുക്കാനുള്ള ചോറ് പാത്രത്തില്‍ നിറക്കാനോ കറിയുടെ കുപ്പി കഴുകുവാനോ ഭാര്യക്ക് പറ്റാത്ത അവസ്ഥ. ഞാനാണെങ്കില്‍ പാതി തേച്ച ഷര്‍ട്ടുമായി ഉമ്മറത്തും.
ചെരുപ്പ് കാണാത്ത സങ്കടം ഒരു ഭാഗത്തും അമ്മയുടെ വഴക്ക് മറുഭാഗത്തുമായി മകന്‍ ഉമ്മറത്ത് തിരിച്ചെത്തി.
"ഇന്നലെ രാത്രിയില്‍ എത്ര വട്ടം പറഞ്ഞതാണ്?  .... ഇന്ന് ചെരുപ്പ് ഇല്ലാതെ പോയാല്‍മതി." അമ്മ പ്രഖ്യാപിച്ചു.
"നിങ്ങളുടെ വാക്ക് കേട്ടാല്‍ തോന്നും ഞാനാണ് കടിച്ചു കൊണ്ടുപോയതെന്ന്  !"
മകന്റെ മറുപടി കേട്ട് പുതിയ ചെരുപ്പിനായി ഞാനും മകനും കടയിലേക്കും ,ഭാര്യ അടുക്കളയിലേക്കും പോയി. എല്ലാരും പത്ത് മിനിറ്റ് ലേറ്റ്.

PRICTIONARY

PRICTIONARY= പ്രഘണ്ടു

' pr 'ല്‍ ആരംഭിക്കുന്ന ഇംഗ്ളീഷ് പദങ്ങളില്‍ ഏതാണ്ടു് 30%ന്റെയും മലയാള അര്‍ത്ഥം 'പ്ര ' യില്‍ ആണ് ആരംഭിക്കുന്നത്. അതുകൊണ്ട് തന്നെ ഈ കൊച്ചു നിഘണ്ടുവിന് 'പ്രഘണ്ടു ' എന്ന പേരാണ് ഉചിതമെന്ന് തോന്നുന്നു.ഇനിയും പദങ്ങളുണ്ടെങ്കില്‍ ഇവിടെ ചേര്‍ത്ത് ഈ പ്രഘണ്ടു വലുതാക്കണമെന്ന് അപേക്ഷിക്കുന്നു.

Practic = പ്രായോഗീകമായ

Practical = പ്രവര്‍ത്തനപരം

Practice = പ്രയോഗം

Pragmatic = പ്രായോഗീകബുദ്ധിയുള്ള

Praise = പ്രകീര്‍ത്തിക്കുക

Prattle = പ്രലപിക്കുക

Pray = പ്രാര്‍ത്ഥിക്കുക

Prayer = പ്രാര്‍ത്ഥന

Preample = പ്രാരംഭം

Precatory = പ്രര്‍ത്ഥനാത്മകമായ

Precedence = പ്രഥമഗണന

Preceptory = പ്രബോധകമായ

Precinct = പ്രാന്തപ്രദേശം

Precious = പ്രിയപ്പെട്ട

Precocious = പ്രായത്തില്‍ കവിഞ്ഞ ബുദ്ധിയുള്ള

Predicate = പ്രഖ്യാപിക്കുക

Predic = പ്രവചിക്കുക

Prediliction = പ്രത്യേക ആഭിമുഖ്യം

Predominance = പ്രാധാന്യം

Preface = പ്രാരംഭ ഭാഗം

Prefer = പ്രസ്താവിക്കുക

Preference = പ്രാഥമ്യം

Pregnancy = പ്രജനനം

Preliminary = പ്രാഥമികമായ

Premier = പ്രഥമമായ

Preparatory = പ്രാരംഭികമായ

Prerogative = പ്രത്യേകാവകാശം

Present = പ്രദര്‍ശിപ്പിക്കുക

Pressure = പ്രേരണ

Prestige = പ്രശസ്തി

Prevail = പ്രാബല്യം ആര്‍ജിക്കുക

Prevalance = പ്രാബല്യം

Prevalent = പ്രബലമായ

Preventable = പ്രതിരോധ്യമായ

Prevention = പ്രതിബന്ധം

Preview = പ്രാഗ്ദര്‍ശനം

Prevision = പ്രാഗ്ജ്‍ഞാനം

Price = പ്രതിഫലം

Pride = പ്രഭാവം

Primacy = പ്രാമുഖ്യം

Prima facia = പ്രഥമ ദ്റൃ‍ഷ്ട്യാ

Primary = പ്രാഥമികമായ

Primate = പ്രധാന പുരോഹിതന്‍

Prime = പ്രഥമമായ

Primeval = പ്രാചീനമായ

Primitive = പ്രാക്റൃത ദശയിലുള്ള

Prince = പ്രഭു

Principal = പ്രധാനി

Principle = പ്രാഥമീക തത്വം

Priority = പ്രാഥമ്യം

Pristine = പ്രാചീനം

Privelege = പ്രത്യേക അവകാശം

Prize = പ്രതിഫലം

Probably = പ്രായേണ

Probation = പ്രാരംഭ പരിശീലനഘട്ടം

Proceed = പ്രവര്‍ത്തിച്ച് തുടങ്ങുക

Problem = പ്രശ്നം

Process = പ്രക്രിയ

Procedure = പ്രവര്‍ത്തന രീതി

Procession = പ്രകടനം

Proclaim = പ്രഘോഷിക്കുക

Proclivity = പ്രവണത

Procreation = പ്രസവം

Profess = പ്രസ്താവിക്കുക

Profit = പ്രയോജനം

Profuse = പ്രചുരമായ

Programme = പ്രക്ഷേപണ പരിപാടി

Prohibit = പ്രതിബന്ധിക്കുക

Project = പ്രവ്റൃത്തി പദ്ധതി

Prolific = പ്രത്യുല്‍പാദന ശേഷിയുള്ള

Prominent = പ്രമുഖമായ

Promise = പ്രതിജ്ഞ

Prompt = പ്രവ്റൃത്തിയില്‍ ജാഗ്രതയുള്ള

Promulgate = പ്രഖ്യാപിക്കുക

Prone = പ്രവണമായ

Pronounce = പ്രഖ്യാപിക്കുക

Propaganda = പ്രചാരണം

Propel = പ്രേരിപ്പിക്കുക

Propensity = പ്രവണത

Property = പ്രത്യേകസ്വഭാവം

Prophecy = പ്രവചനം

Prophasy = പ്രവചിക്കുക

Prophet = പ്രവാചകന്‍

Propitiate = പ്രസാദിപ്പിക്കുക

Proplasm = പ്രഥമബീജം

Propogate = പ്രചരിപ്പിക്കുക

Propone = പ്രസ്താവകന്‍

Propose = പ്രസ്താവിക്കുക

Proposition = പ്രമേയം

Propound = പ്രതിപാദിക്കുക

Propusion = പ്രവര്‍ത്തിപ്പിക്കല്‍

Prospect = പ്രത്യാശ

Prospirity = പ്രവ്റൃദ്ധി

Prospectus = പ്രസ്താവന പരസ്യം

Prostrate = പ്രണമിക്കുക

Protest = പ്രതിഷേധം

Proto = പ്രാഥമീകമായ

Proto type = പ്രാഗ്രൂപം

Protency = പ്രഭവം

Protogonist = പ്രമാണി

Prove = പ്രമാണീകരിക്കുക

Proud = പ്രഗത്ഭ

Province = പ്രവിശ്യ

Provision = പ്രമാണം

Provoke = പ്രകോപിപ്പിക്കുക

Provost = പ്രമാണി

Prowess = പ്രതാപം

Proxy = പ്രതിപുരുഷന്‍